巧用“五看”分析二次函数图象与系数关系

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　巧用“五看”分析二次函数图象与系数的关系

　【关键词】

　数学教学；二次函数；图象；系数；关系

　 【中图分类号】

　G633.6 【文献标识码】

　A

　【文章编号】

　1004―0463（2015）

　06―0118―01

　近几年在各地的中考试卷中，频繁出现有关二次函数的图象与系数之间关系的试题，该类试题多以选择、填空出现，虽然分值不大，但能较好地考查二次函数图象的相关知识.该类试题由于题设的部分条件蕴含在函数的图象中，所以解题时要准确分析二次函数解析式中有关量与函数图象的形状、位置的关系.下面，笔者通过几道近几年中考试题的解决谈谈这类问题的基本解法.

　例 1（2014 年兰州中考 14 题）：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为 x=1，下列结论中错误的是

　A.c>0 B.2a+b= 0

　C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0

　解析：本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，解决问题的关键是利用函数图象判断系数的取值情况.当 x=0 时，y=c，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，

　故 c>0，A 正确；抛物线对称轴为 x=1，即-=1，化简式子得2a+b= 0，故B正确；抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故 b2-4ac>0 ，所以 C 正确.由图象知，当 x=-1 时，y=a-b+c<0，即 D 错误.故答案选 D.

　总结：二次函数图象与系数的关系是数形结合思想的典型应用.它要求学生熟练掌握 a、b、c 的取值由谁确定，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及关于 a、b、c 特殊代数式的取值和根与判别式的熟练运用.这类题型其解题方法可以归纳为“五看”：一看开口，a 上正下负；二看对称轴，b 左同右异、y 轴 0；三看 y 轴交点，c 上正下负、原点 0；四看 x 轴交点个数，2 大 1 等 0 小于；五看特殊点 1、-1、2、-2 所对应的 y 值.下面，利用“五看”来解几例题.

　例 2 （2013 年 白银）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则点 P（a，bc）在第 象限.

　解析：要确定点 P 所在象限，只要确定出 a 和 bc 的符号即可.由上面的三看就可以解决此题：一看开口，可知 a0；由二看三看知 bc<0；所以点 P（a，bc）在第三象限.

　总结：这道题是二次函数图象与系数关系的简单应用，要确定点的坐标，必须先判断横坐标、纵坐标的符号，判断横坐标、纵坐标的符号就要利用二次函数图象确定系数的符号 ，利用解题方法五看很轻松的就解决这类题型.

　例 3 （2013 年 菏泽）已知 b<0，二次函数 y=ax2+bx+a2-1

　的图象为图象中四个图象之一，试根据图象分析，a 的值应等于（ ）

　A.-2 B.-1 C.1 D.2

　解析：二次函数表达式中已经确定系数 b 的符号，要确定 a 的值必须知道二次函数 y=ax2+bx+a2-1 具体是哪一个图象.在第一、二个图中，由二看对称轴知 b=0，所以不是所求二次函数的图象；在第三、四个图中，由三看 y 轴交点知 c=0，即 a2-1=0，解得 a=1 或-1.由二看知 a、b 异号，因为 b0，所以第三个图正确.综上，得出 a=1.

　总结：用二次函数图象结合性质来确定系数的取值，用五看不仅直接判断系数的符号，还能进一步理论计算出系数具体的值、数与形再一次完美结合.

　编辑：谢颖丽

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