“坐标系与参数方程”高考考查分析10篇
篇一：“坐标系与参数方程”高考考查分析
9 道题分清超几何分布和二项分布（含答案）
一．解答题（共 9 小题） 1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 A，B，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙 三人通过 A，B，C 每个项目测试的概率都是 ．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 X，求 X 的概率分布和数学期望．
2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访，5 名男性购物者中有 3
名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店，5 名女性购物者中有 2 名倾向于选择网购，3 名倾向于选择实体店．
（Ⅰ）若从这 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店的概率；
（Ⅱ）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望．
3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”
健康走活动，学校界定一人一天走路不足 4 千步为“健步常人”，不少于 16 千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽
取抽查人 36 名教职工，其每天的走步情况统计如下：
步数
[0，4000）
[4000，16000）
[16000，+∞]
人数
18
12
现对抽查的 36 人采用分层抽样的方式选出 6 人，从选出的 6 人中随机抽取 2 人进行调查．
（1）求这两人健步走状况一致的概率；
（2）求“健步超人”人数 X 的分布列与数学期望．
4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安
全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016 年卫星导航与位置服务产业总产值达到 2118 亿元，较 2015
年约增长%．下面是 40 个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求产值小于 500 万元的城市个数；
（2）在上述抽取的 40 个城市中任取 2 个，设 Y 为产值不超过 500 万元的城市个数，求 Y 的分布列及期望和方差．
5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海 南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美
食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到结果如表所示：
质量（g）
[5，15）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55]
数量
12
（1）若购进这批生蚝 500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托
一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的 10000 名网民中随机抽取了 200 人进行抽样分析，得到了下表所示数据：
经常进行网络购物
偶尔或从不进行网络购物
合计
男性
50
50
100
女性
60
40
100
合计
110
90
200
（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关
（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，从这 5 人中随机选出 3 人赠送网络优惠券，求出选出的 3 人中至少有
两人是经常进行网络购物的概率；
（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为 X，求 X 的期望和方
差．
附：
，其中 n=a+b+c+d
P（K2≥k0） k0 7．手机 QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的 QQ 朋友圈
里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中 30 名，其中男女各 15 名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：
步数
（0，2500） [2500，5000） [5000，7500） [7500，10000） [10000，+∞）
性别
男
0
女
（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明 QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取 3 名，其中走路步数低于 7500 步的有 X 名，
求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过 7500 步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的 2×2
列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关
男 女 总计
积极型
消极型
总计
附：
．
P（K2≥k0） k0 8．某企业 2017 年招聘员工，其中 A、B、C、D、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到 1%）如下：
岗位 男 性 应 聘 人 男 性 录 用 人 男 性 录 用 比 女 性 应 聘 人 女 性 录 用 人 女 性 录 用 比
数
数
例
数
数
例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
67%
67%
总计 533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 2 人．记 X 为这 2 人中被录用的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中 A、B、C、D、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于 5%），但男性的总录用比例却明显高于女
性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
篇二：“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程
1．【全国
I
卷
2019
届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
m
2t 2
y
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为
2cos2 3 2sin2 48 ，其左焦点 F 在直线 l 上．
（1）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 FA FB 的值；
（2）求椭圆 C 的内接矩形面积的最大值．
【答案】（1） 4 3 ；（2） 32 3 ．
【解析】（1）将
x y
cos sin
代入 ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，
得 x2＋3y2＝48，即 x2 y2 1 ， 48 16
因为 c2＝48－16＝32，所以 F 的坐标为（ 4 2 ，0），
又因为 F 在直线 l 上，所以 m 4 2 ．
把直线
l
的参数方程
x
2t 2 代入 x2＋3y2＝48，
y
2t 2
化简得 t2－4t－8＝0，所以 t1＋t2＝4，t1t2＝－8，
所以 FA FB t1 t2 （t1 t2）2 4t1t2 16 48 4 3 ．
（2）由椭圆 C 的方程 x2 y2 1 ，可设椭圆 C 上在第一象限内的任意一点 M 的坐标为（ 4 3 cos ， 48 16
4sinθ）（ 0 π ）， 2
所以内接矩形的面积 S 8 3 cos 8sin 32 3 sin 2 ， 当 π 时，面积 S 取得最大值 32 3 ．
【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式
x
y
cos sin
，而极坐标方程转化为直
2 x2 y2
角坐标方程的关键是利用公式
tan
y x
，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生 2，cos ，
sin 以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数 来表示动点坐标，
从而利用一元函数求与动点有关的最值问题． 2．【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为
x y
1 t cos 1 t sin
,
（t
为参数，
0
π
），以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴，取相同的长度
单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 4 ． 1 sin2
（1）当 a π 时，写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（2）已知点 P1，1 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 PA PB 的取值范围．
【答案】（1） x
3y 1
0，x2 4
y2 2
1；（2）
1 2
，1
【解析】（1）当 a π 时，直线 l 的参数方程为 6
x y
1 t cos 1 t sin π
π 6
,
x
y
1 1 1
3 2
t
t，
．
消去参数 t 得 x 3y 1 3 0 ．
由曲线 C 的极坐标方程为 2
4 sin
，得 2
sin 2
4，
将 x2 y2 2 ，及 y sin 代入得 x2 2 y2 4 ，即 x2 y2 1 ；
42
（2）由直线
l
的参数方程为
x
y
1 t cos 1 t sin
,
（ t 为参数， 0 π ），
可知直线 l 是过点 P（–1，1）且倾斜角为 的直线，
又由（1）知曲线 C 为椭圆 x2 y2 1 ，所以易知点 P（–1，1）在椭圆 C 内， 42
将
x y
1 t cos, 1 t sin
代入 x2 y2 42
1 中，整理得
1 sin2 t2 22sin cos t 1 0 ，
设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2 ，
则 t1 t2
1 1 sin2
，
所以
PA
PB
t1
t2
1 1 sin2
，
因为 0 π ，所以 sin2 0，1 ，
所以
PA
PB
t1
t2
1 sin
1 2
，1
，
所以
PA
PB
的取值范围为
1 2
，1
．
【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点 P（x0，y0），倾斜角为 α 的直线
l
的参数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
（t
为参数）．若
A，B
为直线
l
上两点，其对应的参数分别为
t1，t2
，
线段
AB
的中点为
M，点
M
所对应的参数为 t0
，则以下结论在解题中经常用到：（1）t0
t1
t2 2
；（2）
PM
t0
t1 t2 2
；（3）
AB ＝t2－t1
；（4）
PA·PB ＝t1·t2
．
3．【河南省信阳高级中学 2018–2019 学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极
点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2acos（a 0）；直线
l
的参数方程为
x
2t 2 （ t 为参数）．直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点．
y
2t 2
（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（2）若点 P 的极坐标为 2，π，PM PN 5 2 ，求 a 的值．
【答案】（1）曲线 C 的直角坐标方程为：
x a2 y 12 a2 1，直线 l 的普通方程为 y x 2 ．
（2） a 2 ．
【解析】（1）由 2sin 2acos a 0 ，得 2 2sin 2acos a 0 ，
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2 y 2ax ，
即 x a2 y 12 a2 1，直线 l 的普通方程为 y x 2 ．
（2）将直线
l
的参数方程
x
2 t, 2 代入 x2 y2 2 y 2ax 并化简、整理，
y
2t 2
得 t2 3 2 2a t 4a 4 0 ．因为直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点．
2
所以 Δ 3 2 2a 44a 4 0 ，解得 a 1．
由根与系数的关系，得 t1 t2 3 2 2a，t1t2 4a 4 ．
因为点 P 的直角坐标为 2，0 ，在直线 l 上．所以 PM PN t1 t2 3 2 2a 5 2 ，
篇三：“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程
1．【全国
I
卷
2019
届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
m
2t 2
y
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为
2cos2 3 2sin2 48 ，其左焦点 F 在直线 l 上．
（1）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 FA FB 的值；
（2）求椭圆 C 的内接矩形面积的最大值．
2．【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为
x
y
1 t cos 1 t sin
,
（t
为参数，
0
π
），以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴，取相同的长度单位
建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2
4 sin
．
（1）当 a π 时，写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（2）已知点 P1，1 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 PA PB 的取值范围．
3．【河南省信阳高级中学 2018–2019 学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极
点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2acos（a 0）；直线
l
的参数方程为
x
2t 2 （ t 为参数）．直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点．
y
2t 2
（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（2）若点 P 的极坐标为 2，π，PM PN 5 2 ，求 a 的值．
4．【河南省豫南九校（中原名校）2017
届高三下学期质量考评八数学】己知直线
l
的参数方程为
x
y
1 t 3 2t
（t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 sin2 16cos 0 ，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，点 P（1，3）．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求 1 1 的值． PA PB
5．【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是
x y
t t
（t
为参数），曲线
C
的参数方程是
x y
2 2
2cos sin
（
为参数），以
O
为极点，
x
轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；
（2）已知射线 OP：1
（其中 0
π 2
）与曲线 C
交于 O，P
两点，射线 OQ：2
π 2
与直
线 l 交于 Q 点，若 OPQ 的面积为 1，求 的值和弦长 OP ．
6．【四川省成都市第七中学 2019 届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数标
方程为
x y
et et
et et
（其中 t
为参数），在以
O
为极点、
x
轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标
系的单位长度相同）中，直线
l
的极坐标方程为
sin
π 3
2．
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）求直线 l 与曲线 C 的公共点 P 的极坐标．
7．【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系 xOy 中，
以坐标原点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线
l
的参数方程为
x 2t y 2
t
（
t
为
参数），曲线 C 的极坐标方程为 cos2 8sin ．
（1）求曲线 C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；
（2）若直线 l 与曲线 C 的交点分别为 M ， N ，求 MN ．
8．【河北省石家庄市 2018 届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程
为
x2
y2
，直线 l
的参数方程
x
t
y 3 3
3t （ t 为参数），若将曲线 C1 上的点的横坐标不变，
纵坐标变为原来的
3 2
倍，得曲线
C2
．
（1）写出曲线 C2 的参数方程；
（2）设点 P（ 2，3
3），直线 l 与曲线 C2 的两个交点分别为 A，B ，求
1 PA
1 PB
的值．
篇四：“坐标系与参数方程”高考考查分析
排列组合练习题
1、三个同学必须从四种不同的选修课中选一种自己想学的课程，共有
种
不同的选法。
2、乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安 排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同 的出场安排共有_________种。
3、从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，
要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共
有
。
4、有 3 位老师、4 名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有 种。
5、有 8 本不同的书，其中数学书 3 本，外文书 2 本，其他书 3 本，若将这些书排成 一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 ____________种。
6、有 6 名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有
种不同的排法。
7、五个人排成一排，要求甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数是
8、6 名男生 6 名女生排成一排，要求男女相间的排法有
种。
9、一排有 8 个座位，3 人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有
种。
10、三个人坐在一排 7 个座位上，若 3 个人中间没有空位，有
若 4 个空位中恰有 3 个空位连在一起，有
种坐法。
种坐法。
11、由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5
不能排在一起， 则不同的5位数共有
个。
12、现有 6 名同学站成一排：甲不站排头也不站排尾有
不站排头，且乙不站排尾有
种不同的排法
种不同的排法 甲
13、有 2 位老师和 6 名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共 有 种。
14、A，B，C，D，E 五人站一排，B 必须站 A 右边，则不同的排法有
种。
第1页共3页
15、晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又加了 2 个节目，若将这 2 个节目
插入原节目单中，则不同的插法有
种。
16、书架上放有 6 本书，现在要再插入 3 本书，保持原有书的相对顺序不变，则不
同的放法有
种。
17、有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有
种分配方法。
18、从编号为了 1、2、3 9 的九个球中任取 4 个球，使它们的编号之和为奇数，
再把这四个球排成一排，共有
种不同的排法。
19、有四个编有 1、2、3、4 的四个不同的盒子，有编有 1、2、3、4 的四个不同的
小球，现把小球放入盒子里，①小球全部放入盒子中有
种不同的放
法。②恰有一个盒子没放球有
种不同的放法。③恰有两个盒子没放
球有
种不同的放法。
20、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲，乙电视机各一台，
则不同取法共有
种。
21、有 11 名翻译人员，其中 5 名英语翻译员，4 名日语翻译员，另 2 人英语、日语 都精通。从中找出 8 人，使他们组成两个翻译小组，其中 4 人翻译英文，另 4 人翻译日文，这两个小组能同时工作。这样的分配名单共可开出 张
22.将 12 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各得 4 本有
成三堆，有
种分法。
种分法。平均分
23、6 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，甲一本、乙二本、丙三本；有 种不 同的分法。一人一本、一人二本、一人三本；有 种不同的分法。甲一本、 乙一本、丙四本；有 种不同的分法。一人一本、一人一本、一人四本；有 种不同的分法。每个人都有两本书，有 种不同的分法。
24.某校高中生共有 900 人，其中高一年级 300 人，高二年级 200 人，高三年级 400 人，现采用分
层 抽 样 法 抽 取 一 个 容 量 为 45 的 样 本 ， 那 么 从 高 一 、 高 二 、 高 三 各 年 级 抽 取 人 数 分 别
为
.
25. A，B 两人射击 10 次，命中环数如下：
A ：8 6 9 5 10 7 4 7 9 5；
B ：7 6 5 8 6 9 6 8 8 7
A，B 两人的方差分别为
、
，由以上计算可得
______的射击成绩较稳定.
第2页共3页
26.线性回归方程 y bx a 表示的直线必经过的一个定点是（
）.
Ａ． (x, y)
B． (x,0)
Ｃ． (0, y)
Ｄ． (0,0)
27. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（
）.
Ａ．23 与 26 B．31 与 26 C．24 与 30 D．26 与 30
1 24 2 0356 3 011 4 12
28.为了测试某批灯光的使用寿命,从中抽取了 20 个灯泡进行试验,记录如下：(以小时为单位) 171、159、168、166、170、158、169、166、165、162 168、163、172、161、162、167、164、165、164、167 ⑴ 列出样本频率分布表（组距为 5 小时）；⑵ 画出频率分布直方图.
第3页共3页
篇五：“坐标系与参数方程”高考考查分析
选修 4-4《坐标系与参数方程》复习讲义 一、 选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1 .坐标系：
① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 ，理解在极坐标
系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别， 能进行极 坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点 或圆心 在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平 面直角坐标系 中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义. 2 •参数方程：
① 了解参数方程，了解参数的意义 . ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方 程. 二、 基础知识归纳总结：
1. 伸缩变换：设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，
在变换：X
x,(
0),的作用下，
y y,( 0).
点 P(x,y)对应到点 P (x , y )，称 为平面直角坐标系中的 坐标伸
缩变换，简称伸缩变换。
2. 极坐标系的概念：
在平面内取一个定点 0，叫做 极点；自极 点 0
引一条射线 Ox 叫做 极轴；再选定一个长度单位、一个角 度单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就 建立了一个极坐
标系。
3 .点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点 0 与点 M 的距离
OM 叫做点 M 的极径，记为 ；以极轴 0 x 为始边，射线 0M
为终边的/ XOM 叫做点 M 的极角，记为 。有序数对(，)叫 做点 M 的极坐标，记为 M(,).极坐标(，)与
(, 2k )(k Z)表示同一个点。极点 o 的坐标为
(0, )( R).
4.若 0,则
0,规定点(，)与点(，)关于
极点对称，即(，)与( 如果
)表示同一点。
规定
0,0
2 ，那么除极点外，平面内
的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标
(,)表示的点也是唯一确定的。
5 .极坐标与直角坐标的互化：
6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，
的圆的极坐标方程是
r；
r 为半径
在极坐标系中，以 C(a,0)(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极
坐标方程是
2acos ；
在极坐标系中，以 C(a —) (a>0)为圆心，a 为半径的圆的极
，2
坐标方程是 7.在极坐标系中，
2as in(；
0)表示以极点为起点的一条射
线；
( R)表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点 A(a,0)(a
0)，且垂直于极轴的直线 i
的极坐标方程是 cos a.
8.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的
坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 x f(t),并且对于 y g(t),
t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点
M(x,y)都在这条
曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程，联系变
数 x,y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而 言，
直接给岀点的坐标间关系的方程叫做
普通方程。
9 •圆(x a)2
22
(y b) r 的参数方程可表示为
rcos '(为参数).
b rsin
x
椭圆 -2
y
aJ
acos ,
bsin .(
1 (a>b>0)的参数方程可表示为 为参数).
抛物线 y2 2px 的参数方程可表示为
x 2pt2 y 2pt. \t 为参数).
经过点 M O(xo, yo)，倾斜角为
的直线 l 的标准式参数
方程可表示为
xo tcos ,
o
(t 为参数)。
y yo tsin .
10.在建立曲线的参数方程时， 要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中， 必须使 x,y 的取值范围保持一致.
三、基础训练：
1.在平面直角坐标系中，方程 x2 y2
1 所对应的图形经过
x 2x
伸缩变换
'后的图形所对应的方程是
y 3y
2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
曲线 C 变为曲线 x 2 9y 2
9，则曲线
3x，
后,
y
C 的方程是
3 .在同一平面直角坐标系中，使曲线 y y sinx 的伸缩变换是
2sin3x 变为曲线
4 .在极坐标系中，过点(4,一)，并且和极轴平行的直线的极
坐标方程是
5.在极坐标系中，圆心在 A(1,—)，半径为 1 的圆的极坐标
方程是
，4
6.直角坐标方程
x2
—
y
1 化为极坐标方程是
16 16
7.极坐标方程
2cos 4si n 化为直角坐标方程是
8.在极坐标系中，极点到直线
sin( 7
9 .极坐标系内，曲线 2cos 上的动点 P 与定点 Q(1 一) ，2
的最近距离等于 _____________ .
2
10. 柱坐标（2 一,1）对应的点的直角坐标是 _______________
'3 '
标为
，圆心到直线 l 的距离为
8 . Q O 和。Q 的极坐标方程分别为
4cos ， 4sin
11. 球坐标（2, — ,—）对应的点的直角坐标是
63
12.参数方程 X COS ,
是
（为参数）化为普通方程
y 1 cos2 .
（I ）把 Q O 和 Q O 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（U ）求经
过 Q O1, Q O2 交点的直线的直角坐标方程.
五.2014 高考真题
1 . ［2014 广东卷］（坐标系与参数方程选做题 ）在极坐
标
x 5cos
13.椭圆 是
y 3sin . x
14 .双曲线
y
（为参数）的焦点坐标
J
t （t 为参数）的离心率
是
1 t'
15.曲线 1 ,1 ）
x 1 cos y sin .
'（为参数）上的点与定点 A（-
系中，曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2 pos2 9 = Sin 9 与
pcos 9 = 1•以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
x
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1 与 C2 交点的
直角坐标为 ______________ .
2 . ［2014 湖南卷］在平面直角坐标系中，曲线
C:
x=2+ 2 t,
（t 为参数）的普通方程为 _______ .
y= 1 + -22t
3. ［2014 陕西卷］（坐标系与参数方程选做题）在极坐
n
n
标3.系［中2，01点4 •2,苏到卷直］线C p.［si选n 9修—4-z4=:坐1 的标距系离与是参数方程］
篇六：“坐标系与参数方程”高考考查分析
奥赛学案：平面几何选讲 反演变换（一）
基础知识 一. 定义
1. 设 O 是平面 上的一个定点， k 是一个非零常数．如果平面 的一个变换，使得对于平
面 上 任 意 异 于 O 的 点 A 与其对应点 A' 之 间 ， 恒 有 （ 1 ） A',O, A 三点共线；（ 2）
OA' OA k ，则这个变换称为平面 的一个反演变换，记做 I (O, k) ．其中，定点 O 称为
反演中心，常数 k 称为反演幂，点 A' 称为点 A 的反点．
2. 在反演变换 I (O, k) 下，如果平面 的图形 F 变为图形 F ' ，则称图形 F ' 是图形 F 关于反
演变换 I (O, k) 的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反
图形．
3. 设两条曲线 u、v 相交于点 A ，l 、m 分别是曲线 u、v 在点 A 处的切线（如果存在），则 l 与 m 的交角称为曲线 u、v 在点 A 处的交角；如果两切线重合，则曲线 u、v 在点 A 处的 交角为 0 ．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交
角．当两圆的交角为 90 时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，
则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为 90 时，称为直线与圆正交．
二. 定理 定理 1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．
定理 2. 在反演变换 I (O, k) 下，设 A、B 两点（均不同于反演中心 O ）的反点分别为 A'、B' ，
则有AA'B'B' '= k AB ． OA OB
定理 3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变．
定理 4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的
反形是不过反演中心的直线．
典型例题
一. 证明点共线
例 1. ABC 的内切圆与边 BC 、 CA 、 AB 分别相切于点 D 、 E 、 F ，
设 L 、 M 、 N 分别是 EF 、 FD 、 DE 的中点．求证：
ABC 的外心、 内心与 LMN 的外心三点共线． 证明：如图，设 ABC 的内心为 I ，内切圆半径为 r ．以内心 I
为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换 I (I, r2) ，则 A 、 B 、 C
B
A
FLE I
MN C
D
的反点分别为 L 、 M 、 N ，因而 ABC 的反形是 LMN 的外接圆． 故 ABC 的外心、内心和 LMN 的外心三点共线．
1/2
二. 证明线共点
例 2. 四边形 ABCD 内接于 O ，对角线 AC 与 BD 相交于 P ，设 ABP 、 BCP 、 CDP 、
DAP 的外心分别为 O1 、 O2 、 O3 、 O4 ．求证：
OP 、 O1O3 、 O2O4 三直线共点．
证明：作反演变换 I (P, PC PA) ，则 A 、 C 互为反点， B 、 D 互为反点， O 不变，直线 PO1 不变， ABP 的外接圆的反形
A
O4 D
P
O1
O3
O
C
B
O2
是直线 CD ．由于直线 PO1 与 ABP 的外接圆正交，因而 PO1 与 CD
正交，即有 PO1 CD ．又 OO3 CD ，所以 PO1 // O3O ；同理 PO3 // O1O ，所以四边形
PO1OO3 为平行四边形，从而 O1O3 过 PO 的中点；同理 O2O4 也过 PO 的中点．故 OP 、
O1O3 、 O2O4 三线共点．
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篇七：“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程
1 、（ 2011
天
津
）下
列
在曲
线
x y
sin 2 cos
sin
( 为参数）上
的点
是
（）
A、 (1 , 2) 2
B、 ( 3 , 1) 42
C、 (2, 3)
D、 (1, 3)
2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点 2, 到圆ρ＝2cosθ的圆心的 3
距离为( )
A．2
π2 B. 4＋ 9
π2 C. 1＋ 9
D. 3
3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标
是( )
π A．(1， 2 )
π B．(1，－ 2 )
C．(1,0) D．(1，π)
4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程xy＝ ＝－ 2＋1－ 3tt (t
为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线 B．直线、圆 C． 圆、圆
D．直线、直线
5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图
形是( )
A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π6 (ρ∈R)的距离是________．
7 ． N3[2012 · 北 京 卷 ]
直
线
x＝2＋t， y＝－1－t
(t 为 参 数 ) 与 曲 线
x＝3cosα， y＝3sinα
(α为参数)的交点个数为________．
8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy
中，曲线
C1 和
C2
的
参
数
方
程
分
别
为
x＝t， y＝ t
(t 为 参 数 ) 和
x＝ 2cosθ， y＝ 2sinθ
(θ为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________．
9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：xy＝＝t1＋－12，t
(t 为参数)与曲线 C2：xy＝＝a3csoisnθθ， 在 x 轴上，则 a＝________.
(θ为参数，a＞0)有一个公共点
10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π4 与曲线xy＝＝t＋t1－，1 2 (t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为________．
11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系
x＝ 5cos θ xOy 中 ， 曲 线 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 为
y＝ 5sin θ
θ为参数，0≤θ≤π2 和
x＝1－ 22t (t 为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交
y＝－ 22t
点坐标为__________．
12.【广东省珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试】在极坐标系中，圆
2cos 的圆心到直线 cos 2 的距离是_____________.
13、(2011·陕西理，15)直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线 C1：yx＝＝43＋＋scionsθθ (θ 为参数)和曲线 C2：ρ＝1 上，则|AB|的最小值为________． 14、 N3 [2012·陕西卷]直线 2ρcosθ＝1 与圆ρ＝2cosθ相交的弦长 为________． 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线 C1：ρ( 2·cos θ＋sin θ)＝1 与曲线 C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则 a＝__________． 17．(2011·天津理，11)已知抛物线 C 的参数方程为xy＝＝88tt，2， (t 为 参数)，若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝ r2(r>0)相切，则 r＝________. 18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为yx＝＝si5ncθosθ
(0≤θ<π)和x＝54t2 y＝t
(t∈R)，它们的交点坐标为________．
19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校
2013 届高三上学期第一次联考】
已知在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
t
3，
（
t
为参数），
y 3 t
在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，
以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C 的极坐标方程为 2 4co s 3 0 .
①求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
②设点 P 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的取值范围.
20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线 C1 的参数方程是xy＝＝23csoisnφφ，，(φ为参数)，以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是ρ＝2， 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A、B、C、D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2，π3 )．
(Ⅰ) 求点 A、B、C、D 的直角坐标；
(Ⅱ) 设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 的取值 范围．
21、(2012·高考辽宁卷) 在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2＋y2＝4，圆 C2：(x－2)2＋y2＝4.
(Ⅰ)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
x＝2cosα， y＝2＋2sinα.
(α为参数)．M 是 C1 上的动点，P 点满足O→P＝2→OM，P
点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程；
(2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3
与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求|AB|.
22、(2011·福建理，21) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x－y＋4＝0，曲线 C 的参数方程
为xy＝ ＝si3ncαosα， (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原
篇八：“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程高考真题汇总 1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题 1．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线 l 的方程为 被曲线 C 截得的弦长． 【答案】直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为 A（4，0） ，且 OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为 B，根据直线倾斜角得∠OAB= ．最后根据直角三角 形 OBA 求弦长 . 详解：因为曲线 C 的极坐标方程为 ， ，曲线 C 的方程为 ，求直线 l
所以曲线 C 的圆心为（2，0） ，直径为 4 的圆． 因为直线 l 的极坐标方程为 则直线 l 过 A（4，0） ，倾斜角为 ， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B，则∠OAB= ． 连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ， 所以 ． ． ，
因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为
点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力. 2． （题文）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极 .
轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）求 的直角坐标方程；
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程. 【答案】(1) (2) . ， 以及 .
【解析】 分析：
(1)就根据
， 将方程
试卷第 1 页，总 39 页
中的相关的量代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式， 可以断定曲线 是圆心为 ， 半径为 的圆， 是过点 且
关于 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点， 结合直线与圆的位置关系，得到 k 所满足的关系式，从而求得结果. 详解：
（1）由 ． （2）由（1）知 是圆心为 由题设知， 是过点 ，半径为 的圆． ， 得 的直角坐标方程为
且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边
的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个 公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时，到 所在直线的距离为 ， 所以 经检验， 当 个公共点． 当 与 只有一个公共点时，到 所在直线的距离为 ， 所以 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 ． ， 故 或 ． 时， 与 没有公共点；
当 ， 故 或 ．
时， 与 只有一个公共点， 与 有两
时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方 程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需 要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其 转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果. 3．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 【答案】 （1） 当 的直角坐标方程为 时， 的直角坐标方程为 ．（2） ，求 的斜率． ， 当 时， （ 为参数） ，直线 的参数方程为
【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线 的参数方程化为直角坐标方程，根据
试卷第 2 页，总 39 页
代入消元法将直线 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分
与
两种情况 .(2) 将直线 参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据参数几何意义得 之间关系，求得 ，即得 的斜率． ． ， ．
详解：
（1）曲线 的直角坐标方程为 当 当 时， 的直角坐标方程为 时， 的直角坐标方程为
（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 ． 又由①得 ， 故 ， 于是直线 的斜率 ． 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是 正、可负、可为 0) 若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1， M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α ， y0＋t1sin α )， (x0＋t2cos α ， y0＋t2sin α ). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ＝|t|＝ . ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0| .(t 是参数，t 可
(4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0. 4．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 倾斜角为 的直线 与 （1）求 的取值范围；
（2）求 中点 的轨迹的参数方程． 中， 的参数方程为
， （ 为参数） ， 过点
，
且
交于 ， 两点．
【答案】（1）
（2）
为参数，
【解析】分析：
（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离
可得。
试卷第 3 页，总 39 页
（2）联立方程，由根与系数的关系求解 详解：
（1） 当 当 解得 时， 与 时， 记 或 的直角坐标方程为 交于两点． ， 则 的方程为 ，即 ． 为参数， ． ． 或 ． ．与 交于两点当且仅当 ， ．
综上， 的取值范围是 （2） 的参数方程为
设 ，，对应的参数分别为 ， ， ， 则 于是 ，
， 且 ， 满足 满足
．又点 的坐标
所以点 的轨迹的参数方程是
为参数，
．
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于 中档题。
5．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 方程为 （θ 为参数） ，直线 l 的参数
（ 为参数）．
（1）若 ，求 C 与 l 的交点坐标；
，求 ． 或 ．
（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 【答案】（1） 【解析】 ， ；
（2）
篇九：“坐标系与参数方程”高考考查分析
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抽象函数的定义域
1、 已知 f(x)的定义域，求复合函数 f[g X]的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，
因此可得其方法为：若 f(x)的定义域为 x a,b，求出 f[g(x)]中 a g(x) b 的解 x 的范围，即为
f[g(x)]的定义域。
2、 已知复合函数 f[g x ]的定义域，求 f (x)的定义域
方法是：若 f[g x ]的定义域为 x a,b，则由 a x b 确定 g(x)的范围即为 f(x)的定义域。
3、已知复合函数 f[g(x)]的定义域，求 f[h(x)]的定义域
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定义域，再由 f x 的定义域求得 f[h x ]的定义域。
4、 已知 f (x)的定义域，求四则运算型函数的定义域
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定义域，再求交集。
例 1、已知函数 f(x)的定义域为
1，，求 f(3x 5)的定义域.
解：Q f (x)的定义域为
1,5 ,
1 < 3x 5< 5 ,
4<x<
.
故函数 f(3x 5)的定义域为 -,10 . 33
练习：若函数 y f (x)的定义域为 一,2，贝 U f (log 2 x)的定义域为 _____________________ 。
解：依题意知：
log 2 x 2 解之，得：
・-
2x4
二 f(log2X)的定义域为
2x4
例 2、已知函数 f(x2 2x 2)的定义域为 0,3，求函数 f(x)的定义域.
分析：若 f g(x)的定义域为 m< x< n，则由 m< x< n 确定的 g(x)的范围即为 f (x)的定义 域•这种情况下，f (x)
的定义域即为复合函数 f g(x)的内函数的值域。本题中令 u x2 2x 2 , 则 f(x2 2x 2) f(u),
由于 f(u)与 f(x)是同一函数，因此 U 的取值范围即为 f (x)的定义域.
222
解：由 0W x < 3,得 K x 2x 2 < 5 •令 u x 2x 2，则 f(x 2x 2) f (u) , 1< u < 5 •故
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解:由 u <9 ,得 1"十 1"口 所以 0 幻 g" + DMl,故填[6
例 3.函数|
■ 「•定义域是［:-I ,则］■- - J '■
1] 的定义域是()
A.
£B.卜 1, 4］匚［」，习 D■【心
解：先求了⑴的定义域丁了(x 十 V 的定义域是［-2：
^］ . -2 < x < 3 .. I < r + I < 1 ,
的定义域是 [7 4] ，再求 /[AW]
- 1 <4
0<J < 2
的定义域是
，故应选 A
练习：已知函数 f(2 x)的定义域是］-1 ,1］,求 f(log 2x)的定义域.
解•/y=f(2 x)的定义域是]-1 , 1 ]，即-1 < x< 1, ••• 2 < 2xw 2.
•函数 y=f(log 2x)中 2 < log 2Xw 2.即 log 2 2 < log 2x< log 24, •
故函数 f(log 2x)的定义域为］ 2 , 4］
2 < x < 4.
例 4 若 f (x)的定义域为
3,5 ，求(x) f( x)
f (2x 5)的定义域.
解：由 f(x)的定义域为 3,5 ,
则(x)必有
所以函数 (X)的定义域为
f (x)的定义域为 1,
x<5
'解得 4 < x < 0 • 2x 5 < 5,
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练习：已知函数
或初二■/(=+&) ，求
分析：分别求 f(x+a)与 f(x-a)的定义域，再取交集。
解：■由已知，有
，即
函数的定义域由 …:八〕…H '
3 笛 °)
的定义域。
13.
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a^-a < 1 + a^l-a .函数
的定义域是
1+“]
1 例 5 若函数 f(x+1)的定义域为[—,2],求 f(x")的定义域.
解：先求 f(x)的定义域：由题意知一 再求 f[h(x)]的定义域：
< XW 2,则_v x+ 1v 3，即 f(x)的定义域为[—,3],
—v x2v 3，解得一 .3 v x v— —2 或—2 v xv . 3 .
22
二 f(灼的定义域是｛x| — . 3 v xv — 丄或二 v xv .3}.
22
例 6、某单位用木料制作如图所示的框架 ，框架的下部是边长分别为 x、 y(单位：
m)的矩形•上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积 8cm2.问 x、y 分别为多少(精 确到 0.001m)时用料最省？
分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外， 还需考虑实际上的有
效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中
常见情况：
(1) 面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；
(2)
销售问题中，
要考虑日期只能是自然数，价格不能小于
0 也不能大于
题设中规定的值(有的题没有规定) ；
(3) 生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满
足题设；(4 )路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为
S 三角形 S 矩形 xy x 8，由于 xy 0 ,于是一 x2 8，即 x 4 2。又 x 0 ,「. x 的取值范围
是 0 x 4 12。
解:
由题意得 xy+ 9=8, ••• y=8
x
7=8
xx
x (0<x<4 . 2 ). 4
是，框架用料长度为 l=2x+2y+2(
2 x )=( 3 x
2 )x+ 16 >4 6 4.2.
当(3 + ••. 2 )x= 16 ,即 x=8 — 4 . 2 时等号成立
x
此时，x ~ 2.343,y=2 2 ~ 2.828.
故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时，用料最省.
变式训练：
(2007 •北京理，19)如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 计划将
篇十：“坐标系与参数方程”高考考查分析
平面向量的数量积
1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，把数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数
量积(或内积)，记作 a·b.即 a·b＝|a||b|cos θ，规定 0·a＝0.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝ a·a
|a|＝ x12＋y21
夹角
cos θ＝|aa|·|bb|
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
a⊥b 的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
(1)求两向量的夹角：cos θ＝|aa|··b|b|，要注意 θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a ＋b|. (3)求向量的模：遇模则平方
①a2＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a.
②|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2.
③若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
原理：在用|a|＝ a2求向量的模时，一定要把求出的 a2 再进行开方．